Dodawanie macierzy jest jedną z najprostszych operacji, które możemy wykonać na macierzach. Przy dodawaniu macierzy musisz zwrócić uwagę na to czy obie macierze są tego samego wymiaru... Dlaczego to takie ważne? Odpowiedź brzmi... bo możemy dodawać tylko macierze o tych samych wymiarach:-)
Przykłady:
możemy wykonać dodawanie macierzy A wymiaru 2x3 z macierzą B wymiaru 2x3
dodawanie macierzy C wymiaru 3x4 (3 wiersze i 4 kolumny) z macierzą D wymiaru 4x3 (4 wiersze i 3 kolumny) jest niewykonalne (tak też piszemy w odpowiedzi do zadania), bo wymiary macierzy C i D są różne!
Gdy już sprawdzimy czy macierze, które chcemy dodać są tych samych wymiarów, możemy zacząć wykonywać dodawanie macierzy. Jest to bardzo prosta operacja polegająca na dodawaniu odpowiadających sobie elementów z obu macierzy. Elementy odpowiadające sobie, to te, których współrzędne w obu macierzach są identyczne. Mówiąc jeszcze prościej dodając 2 macierze dodajemy element po elemencie z tych samych wierszy i kolumn obu macierzy.
W wyniku dodania do siebie dwóch macierzy otrzymamy trzecią macierz, która będzie takiego samego wymiaru jak nasze 2 macierze (które dodaliśmy do siebie). Zapraszam do obejrzenia filmiku video, który wyjaśni jak krok po kroku wykonać dodawanie macierzy?
I co powiesz na temat dodawania macierzy? Podziel się opinią w komentarzu pod tym postem:-)
Wyznacznik macierzy jest jednym z najważniejszych pojęć w algebrze liniowej. Wyznacznika macierzy kwadratowej używa się do wyznaczania macierzy odwrotnej oraz przy rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Cramera.
W tym krótkim poście pokażę Ci jak obliczyć wyznacznik macierzy wymiaru 3x3 za pomocą metody Sarrusa. Obliczanie wyznacznika w ten sposób jest bajecznie proste, szczególnie w porównaniu z rozwinięciem Laplace'a oraz operacjami elementarnymi, do używania których potrzeba wiele cierpliwości i dobrej pamięci...
Reguła Sarrusa jest ulubioną metodą obliczania wyznacznika dla większiści studentów. Dlaczego tak jest? Może dlatego, że jest łatwa do zapamiętania i do użycia, przekonaj się o tym samemu oglądając filmik video z wyjaśnieniem jak krok po kroku zastosować metodę Sarrusa. Zapraszam serdecznie:)
I co sądzisz o metodzie Sarrusa, jest rzeczywiście tak łatwa jak napisałem? Podziel się swoją opinią na temat sposobów obliczania wyznacznika macierzy 3x3 w komentarzu ponieżej.
Niemal na każdym kierunku studiów technicznych studenci muszą uczyć się algebry liniowej, na której jednym z najważniejszych działów są macierze. Pewnie zastanawiasz się czasem po co właściwie wymyślono macierze i dlaczego musisz uczyć się ich na studiach?
Macierze wymyślono przede wszystkim w celu szybszego rozwiązywania skomplikowanych układów równań liniowych, tzn. układów w których jest wiele niewiadomych i występuje wiele równań.
Tłumacząc pojęcie układu równań na ludzki język, powiedziałbym że są one obiektem matematycznym odpowiadającym zjawisku rzeczywistemu (za pomocą układu równań można opisać to zjawisko), w którym występuje wiele nieznanych parametrów (niewiadomych lub inaczej zmiennych) mających wpływ na zjawisko (np. na stan atmosfery, czyli pogodę w danym rejonie świata wpływa wiele różnych czynników, tj. temperatura, ciśnienie, zachmurzenie, opady, siła wiatru itp). Co więcej, czynniki wpływające na zjawisko są ze sobą powiązane wieloma relacjami, tzn. można dostrzec związki między nimi (np. wzrost ciśnienia powoduje zwiększenie temperatury i zmniejszenie siły wiatru). Więcej o układach równań napiszę innym razem...
Układy równań liniowych służą do opisu wielu zjawisk obserwowanych w świecie rzeczywistym, np.
w fizyce do opisu ruchu 2 lub większej ilości ciał oddziałujących na siebie
w meteorologii do opisu zjawisk fizycznych i procesów zachodzących w atmosferze
w ekonomii do opisu różnych zjawisk ekonomicznych (inflacja, wzrost kapitału itd)
w każdej dziedzinie w której pojawia się problem optymalizacji (minimalizacji lub maksymalizacji) jakichś wielkości lub występują zjawiska o skomplikowanej naturze (wiele czynników wpływających na zjawisko oraz wiele zależności między tymi czynnikami)
Cała teoria macierzy, wszystkie pojęcia i schematy zostały stworzone w
celu ułatwienia rozwiązywania układów równań. Oto lista pojęć
związanych z macierzami wraz z wytłumaczeniem co konkretnie można za ich
pomocą osiągnąć:
działania na macierzach: dodawanie i
odejmowanie, mnożenie i transpozycja - za pomocą macierzy oraz operacji
na nich można zapisać każdy układ równań
wyznacznik macierzy - służy do znajdowania macierzy odwrotnej oraz rozwiązywania układów równań za pomocą wzorów Cramera
rząd macierzy - wraz z twierdzeniem Kroneckera-Capellego pozwala określić ile rozwiązań ma układ równań liniowych
Jak napisałem, macierze służą do rozwiązywania układów równań liniowych, te z kolei wiążą się z konkretnymi, ważnymi problemami ze świata rzeczywistego. Macierze są więc bardzo ważne z punktu widzenia samej matematyki jak i innych dziedzin wiedzy.
Do czego jeszcze służą macierze?
do zapisywania dużych zbiorów danych, które są we wzajemnej relacji. Szczególnie ważną rolę pełnią macierze w informatyce oraz statystyce, gdzie często występują ogromne zbiory danych (wyniki pomiarów, dane w pamięci komputera itd)
co ciekawe za pomocą macierzy modeluje się ekran komputera, który składa się z milionów pikseli ułożonych w sposób logiczny w wierszach i kolumnach, dzięki temu możemy korzystać z komputera, telewizora czy telefonu
Na koniec podsumowanie. W poniższym filmie omówione zostały podstawy oraz zastosowania macierzy
Macierze stanowią duże wyzwanie dla wielu studentów, szczególną trudność sprawia mnożenie macierzy, obliczanie macierzy odwrotnej oraz liczenie wyznacznika macierzy. Jeśli zadajesz sobie pytanie od czego zacząć naukę macierzy i wyznaczników, to obejrzyj ten film, w którym wyjaśnione są podstawy macierzy
Dobrze jest kojarzyć macierz z szachownicą, wtedy dużo łatwiej zapamiętać co jest wierszem a co kolumną oraz jak zapisać konkretny element macierzy, który znajduje się w konkretnym wierszu i kolumnie.
Kolejny etap w nauce macierzy to zapoznanie się z rodzajami macierzy. Niektóre macierze mają swoje szczególne nazwy. Zapytasz pewnie dlaczego..., otóż jest tak, ze względu na to, że często pojawiają się one w wielu obliczeniach. Właśnie dlatego można powiedzieć, że zajmują szczególne miejsce wśród wszystkich innych macierzy.
Macierz jednostkowa jest bardzo ważna w kontekście wyznaczania macierzy odwrotnej oraz przy rozwiązywaniu układów równań liniowych.
Macierze diagonalna, trójkątna górna i dolna wiążą się często z wyznacznikiem macierzy, ponieważ poprzez operacje elementarne można doprowadzić każdą macierz do postaci schodkowej, co znacznie upraszcza obliczanie wyznacznika.
Jeśli chcesz poznać najważniejsze rodzaje macierzy, to zapraszam do obejrzenia videolekcji
Mam nadzieje, że rozumiesz już co to jest macierz oraz znasz podstawowe pojęcia związane z macierzami. Pamiętaj, że bez tego ciężko będzie Ci rozwiązywać zadania...
