Często w zadaniach z algebry liniowej przewija się pojęcie macierzy osobliwej i nieosobliwej. Wielu z was ma często mętlik w głowie, bo jak rozróżnić te dwa rodzaje macierzy i skąd w ogóle tak dziwna nazwa jak "macierz osobliwa"...? Na początek znaczenie tych dwóch pojęć:
MACIERZ OSOBLIWA - to macierz posiadająca wyznacznik równy zero
MACIERZ NIEOSOBLIWA - tomacierz posiadającawyznacznik różny od zera
Jak zapamiętać, która macierz jest osobliwa, a która nie?
osobliwy to znaczy dziwny, wyróżniający się, więc zapamiętaj, że macierz osobliwa to taka, która czymś się wyróżnia, w tym przypadku wyróżnia się tym, że ma wyznacznik równy 0
macierz nieosobliwa - nie wyróżnia się niczym nadzwyczajnym, czyli ma niezerowy wyznacznik
W jakich zadaniach najczęściej pojawiają się pojęcia macierzy osobliwej i nieosobliwej?
Zadania związane z wyznaczaniem macierzy odwrotnej pojawiają się na większości kolokwiów i egzaminów z algebry liniowej. Dlaczego odwracanie macierzy jest aż tak ważne? Oto dwa ważne powody:
za pomocą macierzy odwrotnej można rozwiązywać układy równań liniowych w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych (układ zapisuje się w postaci macierzowej a później rozwiązuje się go za pomocą macierzy odwrotnej)
w zadaniu z macierzą odwrotną można sprawdzić wiedzę praktycznie z całego materiału z zakresu macierzy oraz wyznaczników (czytaj dalej, żeby dowiedzieć się co dokładnie trzeba umieć...)
A teraz przejdźmy do konkretów... Na początek zobacz: Metody wyznaczania macierzy odwrotnej
metoda bazująca na obliczeniu wyznacznika macierzy oraz dopełnień algebraicznych wszystkich elementów macierzy + transponowanie macierzy
metoda bezwyznacznikowa (metoda Gaussa, zwana też metodą dołączonej macierzy jednostkowej) - obok macierzy dopisujemy macierz jednostkową, następnie wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy wyjściowej, tak aby przekształcić ją do macierzy jednostkowej. Na koniec w miejscu dopisanej macierzy jednostkowej powinna pojawić się macierz odwrotna do naszej macierzy.
Co trzeba umieć, żeby wyznaczyć macierz odwrotną?
w metodzie "wyznacznikowej" (standardowej), musisz umieć obliczyć wyznacznik macierzy (pamiętaj o metodzie Sarrusa), dopełnienia algebraiczne oraz musisz umieć transponować macierze
w metodzie bezwyznacznikowej, musisz wiedzieć co to są operacje elementarne, macierz jednostkowa + musisz mieć wprawę w wykonywaniu operacji elementarnych na wierszach macierzy
Zobacz konkretny przykład zadania z kolokwium.. Jak obliczyć macierz odwrotną do iloczynu macierzy wymiaru 2x2?
Zapamiętaj:
macierz odwrotna do iloczynu macierzy jest równa iloczynowi (w odwrotnej kolejności) macierzy odwrotnych
macierz odwrotna do macierzy transponowanej jest równa macierzy odwrotnej z macierzy bez transponowania
macierz odwrotna do macierzy odwrotnej jest równa danej macierzy
macierz odwrotną do macierzy 2x2 można obliczyć korzystając z bardzo prostego schematu (bez korzystania ze skomplikowanych dopełnień algebraicznych itp)
Napisz w komentarzu poniżej o zadaniach dotyczących odwracania macierzy z którymi masz największe problemy - postaram się pomóc w ich rozwiązaniu:-)
Jeśli chcesz dowiedzieć się jak obliczyć rząd macierzy w zależności od nieznanego parametru to dobrze trafiłeś(-aś). Już za chwilę obejrzysz film video, który pomoże Ci zrozumieć schemat rozwiązywania tego typu zadań.
Kilka pojęć na początek... Co to jest rząd macierzy?
największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy (minor to wyznacznik macierzy kwadratowej "wyjętej" z danej macierzy poprzez skreślanie wierszy i kolumn)
metoda Gaussa polega na wykonywaniu operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy w celu doprowadzenia (uproszczenia) jej do postaci schodkowej
Co to są operacje elementarne?
są to operacje, które mozna wykonywać na wierszach lub kolumnach macierzy
operacje elementarne nie zmieniają wyznacznika macierzy oraz rzędu macierzy
dozwolone operacje elementarne to: 1. dodanie do jakiegoś wiersza (kolumny) macierzy innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez liczbę, 2. zamiana wierszy (kolumn) między sobą, 3. pomnożenie całego wiersza (kolumny) macierzy przez liczbę różną od zera
Znając podstawowe pojęcia możemy przejść do konkretów... Oto schemat krok po kroku obliczania rzędu macierzy przy użyciu (bezwyznacznikowej) metody Gaussa:
Wykonujemy operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy, tak aby doprowadzić macierz do postaci schodkowej
Patrzymy ile "schodków" jest w macierzy w zależności od parametru p. Pamiętamy, że liczba schodków = rząd macierzy
Prawda, że proste:)? Oto cała metoda wyjaśniona na konkretnym przykładzie:
Czy wszystko jest dla Ciebie zrozumiałe? Pisz śmiało w komentarzu co wymaga lepszego wytłumaczenia, lub co jest dla Ciebie kompletnie niezrozumiałe.
