Reklama

obliczone.pl

środa

Jaka jest różnica między macierzą jednostkową a diagonalną?

W tym poście postaram się odpowiedzieć na pytanie, jaka jest różnica między macierzą diagonalną a jednostkową?
Na początek chcę polecić Ci powtórkę z rodzajów macierzy dostępną na tym blogu (Jak się nauczyć macierzy w pół godziny?), warta polecenia jest też powtórka na stronie o rodzajach macierzy.

Ogólnie możemy powiedzieć, że macierz jednostkowa to macierz kwadratowa, posiadająca jedynki (1) na głównej przekątnej a poza przekątną same zera.

Macierz diagonalna z kolei to macierz posiadająca zera poza główną przkątną (na przekątnej mogą stać dowolne liczby, również zera). 

Stąd wniosek, że macierz jednostkowa to macierz diagonalna posiadająca jedynki (1) na przekątnej. 

Inne przykładem macierzy diagonalnej jest kwadratowa macierz zerowa. Taka macierz jest diagonalna, poniważ posiada zera poza przekątną (i zera na przekątnej ale to w niczym nie przeszkadza).

Jeśli masz jakieś pytania o rozdzaje macierzy to zapraszam do pozostawienia go pod tym postem.

Spektakularne zastosowania macierzy

Jeśli zastanawiasz się po co wymyślono macierze, to dobrze trafiłeś(-aś). Poniżej znajdziesz kilkanaście przykładów zastosowań macierzy. UWAGA: będą to przykłady naprawdę spektakularne... Dowiesz się m.in. co wspólnego ma firma Google z macierzami oraz jak wykonuje się prognozy pogody?

Zacznijmy od początku...

Macierze, bo o nich tu mowa, wymyślono przede wszystkim w celu szybkiego rozwiązywania skomplikowanych układów równań liniowych, tzn. układów w których jest wiele niewiadomych i występuje wiele równań. (jeśli nie wiesz co to jest ten cały układ równań, to zobacz tutaj).
Oto lista pojęć związanych z macierzami wraz z wytłumaczeniem, co konkretnie można za ich pomocą osiągnąć:
  •  działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie, mnożenie i transpozycja - za pomocą macierzy (oraz operacji na nich) można zapisać każdy układ równań
  • wyznacznik macierzy - służy do znajdowania macierzy odwrotnej oraz rozwiązywania układów równań za pomocą wzorów Cramera
  • rząd macierzy - wraz z twierdzeniem Kroneckera-Capellego pozwala określić ile rozwiązań ma układ równań liniowych
Cała teoria macierzy, wszystkie pojęcia i schematy wymyślono w celu ułatwienia rozwiązywania układów równań, które z kolei służą do opisu wielu zjawisk rzeczywistych, np.:
  • w fizyce do opisu ruchu 2 lub większej ilości ciał oddziałujących na siebie
  • w  meteorologii do opisu zjawisk fizycznych i procesów zachodzących w atmosferze. Prognozy pogody przeprowadza się rozwiązując skomplikowane układy równań, które stanowią zapis za pomocą równań pewnych zależności między parametrami opisującymi stan pogody (tj. temperatura, ciśnienie, wilgotność, siła wiatru itd.) w danej chwili. Rozwiązanie układu w zależności od warunków początkowych umożliwia określenie parametrów pogodowych w przyszłości.
  • w ekonomii, do opisu zjawisk takich jak inflacja czy wzrost kapitału
  • w każdej dziedzinie w której pojawia się problem optymalizacji (minimalizacji lub maksymalizacji) jakichś wielkości lub występują zjawiska o skomplikowanej naturze (wiele czynników wpływających na zjawisko oraz wiele zależności między tymi czynnikami)
Oprócz zastosowań do rozwiązywania układów równań, macierze stosowane są w wielu innych dzidzinach, np.:
  • do zapisywania dużych zbiorów danych, które są we wzajemnej relacji. Szczególnie ważną rolę pełnią macierze w informatyce oraz statystyce, gdzie często występują ogromne zbiory danych (wyniki pomiarów, dane w pamięci komputera itd.). 
  • co ciekawe za pomocą macierzy modeluje się ekran komputera, który składa się z milionów pikseli ułożonych w sposób logiczny w wierszach i kolumnach, dzięki temu możemy korzystać z komputera, telewizora czy telefonu
Spektakularnym przykładem zastosowań macierzy w informatyce są wyszukiwarki internetowe, wśród których najpopularniejsza jest ta od firmy Google. Wyszukiwarka Google przyporządkowuje stronom internetowym pewien wskaźnik, którego początekiem był tzw. PageRank (PR). W skrócie można to opisać tak: im wyższy PR tym strona wyżej pojawia się w wyszukiwarce. Wartość PR nadawana jest w oparciu o ilość (i jakość) linków prowadzących do danej strony www. W algorytmie PR wykorzystywane są macierze i tzw. wartości i wektory własne macierzy, więcej w 2 artykułach (w j. angielskim):



UWAGA: Artykuł pochodzi ze strony macierze.bloog.pl