Co to jest macierz osobliwa (i nieosobliwa)?

Często w zadaniach z algebry liniowej przewija się pojęcie macierzy osobliwej i nieosobliwej. Wielu z was ma często mętlik w głowie, bo jak rozróżnić te dwa rodzaje macierzy i skąd w ogóle tak dziwna nazwa jak "macierz osobliwa"...? Na początek znaczenie tych dwóch pojęć:

MACIERZ OSOBLIWA - to macierz posiadająca wyznacznik równy zero

MACIERZ NIEOSOBLIWA  - to macierz posiadająca wyznacznik różny od zera

Poznaj kłamstwo, które kradnie Ci nawet 2 godziny dziennie!
Jak zapamiętać, która macierz jest osobliwa, a która nie?

•  osobliwy to znaczy dziwny, wyróżniający się, więc zapamiętaj, że macierz osobliwa to taka, która czymś się wyróżnia, w tym przypadku wyróżnia się tym, że ma wyznacznik równy 0
• macierz nieosobliwa - nie wyróżnia się niczym nadzwyczajnym, czyli ma niezerowy wyznacznik

W jakich zadaniach najczęściej pojawiają się pojęcia macierzy osobliwej i nieosobliwej? 

• oczywiście przy okazji zadań z wyznacznikiem macierzy
• w materiale związanym z liczeniem macierzy odwrotnej (nie istnieje macierz odwrotna do macierzy osobliwej)
• w zadaniach, w których trzeba obliczyć rząd macierzy (pojęcie macierzy nieosobliwej pojawia się w definicji minorów)
• przy okazji rozwiązywania układów równań liniowych (układy Cramera, gdzie macierz główna układu musi być nieosobliwa) 

A może Ty masz jakiś swój sposób na zapamiętanie różnicy między macierzą osobliwą a nieosobliwą? Podziel się w komentarzu.

Macierz odwrotna od A do Z

Zadania związane z wyznaczaniem macierzy odwrotnej pojawiają się na większości kolokwiów i egzaminów z algebry liniowej. Dlaczego odwracanie macierzy jest aż tak ważne? Oto dwa ważne powody:

• za pomocą macierzy odwrotnej można rozwiązywać układy równań liniowych w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych (układ zapisuje się w postaci macierzowej a później rozwiązuje się go za pomocą macierzy odwrotnej)
• w zadaniu z macierzą odwrotną można sprawdzić wiedzę praktycznie z całego materiału z zakresu macierzy oraz wyznaczników (czytaj dalej, żeby dowiedzieć się co dokładnie trzeba umieć...)

A teraz przejdźmy do konkretów... Na początek zobacz:
Metody wyznaczania macierzy odwrotnej

1. metoda bazująca na obliczeniu wyznacznika macierzy oraz dopełnień algebraicznych wszystkich elementów macierzy + transponowanie macierzy
2. metoda bezwyznacznikowa (metoda Gaussa, zwana też metodą dołączonej macierzy jednostkowej) - obok macierzy dopisujemy macierz jednostkową, następnie wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy wyjściowej, tak aby przekształcić ją do macierzy jednostkowej. Na koniec w miejscu dopisanej macierzy jednostkowej powinna pojawić się macierz odwrotna do naszej macierzy.  

Co trzeba umieć, żeby wyznaczyć macierz odwrotną?

1. w metodzie "wyznacznikowej" (standardowej), musisz umieć obliczyć wyznacznik macierzy (pamiętaj o metodzie Sarrusa), dopełnienia algebraiczne oraz musisz umieć transponować macierze
2. w metodzie bezwyznacznikowej, musisz wiedzieć co to są operacje elementarne, macierz jednostkowa + musisz mieć wprawę w wykonywaniu operacji elementarnych na wierszach macierzy

Zobacz konkretny przykład zadania z kolokwium.. Jak obliczyć macierz odwrotną do iloczynu macierzy wymiaru 2x2?


Zapamiętaj:

• macierz odwrotna do iloczynu macierzy jest równa iloczynowi (w odwrotnej kolejności) macierzy odwrotnych 
• macierz odwrotna do macierzy transponowanej jest równa macierzy odwrotnej z macierzy bez transponowania
• macierz odwrotna do macierzy odwrotnej jest równa danej macierzy
• macierz odwrotną do macierzy 2x2 można obliczyć korzystając z bardzo prostego schematu (bez korzystania ze skomplikowanych dopełnień algebraicznych itp)

Napisz w komentarzu poniżej o zadaniach dotyczących odwracania macierzy z którymi masz największe problemy - postaram się pomóc w ich rozwiązaniu:-) 

Jak obliczyć rząd macierzy z nieznanym parametrem?

Jeśli chcesz dowiedzieć się jak obliczyć rząd macierzy w zależności od nieznanego parametru to dobrze trafiłeś(-aś). Już za chwilę obejrzysz film video, który pomoże Ci zrozumieć schemat rozwiązywania tego typu zadań.
Kilka pojęć na początek...
Co to jest rząd macierzy?

• największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy (minor to wyznacznik macierzy kwadratowej "wyjętej" z danej macierzy poprzez skreślanie wierszy i kolumn)
• liczba schodków w macierzy schodkowej

Co to jest eliminacja Gaussa?

• jest to bezwyznacznikowa metoda obliczania rzędu macierzy (a także macierzy odwrotnej)
• metoda Gaussa polega na wykonywaniu operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy w celu doprowadzenia (uproszczenia) jej do postaci schodkowej

Co to są operacje elementarne?  

• są to operacje, które mozna wykonywać na wierszach lub kolumnach macierzy
• operacje elementarne nie zmieniają wyznacznika macierzy oraz rzędu macierzy
• dozwolone operacje elementarne to: 1. dodanie do jakiegoś wiersza (kolumny) macierzy innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez liczbę, 2. zamiana wierszy (kolumn) między sobą, 3. pomnożenie całego wiersza (kolumny) macierzy przez liczbę różną od zera 

 Znając podstawowe pojęcia możemy przejść do konkretów...
Oto schemat krok po kroku obliczania rzędu macierzy przy użyciu (bezwyznacznikowej) metody Gaussa:

1. Wykonujemy operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy, tak aby doprowadzić macierz do postaci schodkowej
2. Patrzymy ile "schodków" jest w macierzy w zależności od parametru p. Pamiętamy, że liczba schodków = rząd macierzy

Prawda, że proste:)? Oto cała metoda wyjaśniona na konkretnym przykładzie:



Czy wszystko jest dla Ciebie zrozumiałe? Pisz śmiało w komentarzu co wymaga lepszego wytłumaczenia, lub co jest dla Ciebie kompletnie niezrozumiałe.

Mnożenie macierzy przykłady, schemat i warunki

Mnożenie macierzy jest jednym z podstawowych działań na macierzach. Jak pokazuje praktyka iloczyn macierzy jest najważniejszą operacją, którą koniecznie trzeba opanować do perfekcji... Pewnie zastanawiasz się dlaczego tak jest?
Oto 3 konkretne powody dlaczego mnożenie macierzy jest takie ważne:

1. iloczyn macierzy pojawia się w ogromnej ilości zadań na kolokwiach i egzaminach z algebry liniowej (np. w zadaniach w których trzeba rozwiązać równanie macierzowe lub obliczyć wyznacznik macierzy czy też macierz odwrotną do iloczynu macierzy)
2. mnożenie macierzy pozwala zapisać każdy układ równań w postaci macierzowej (tzw. równanie macierzowe)
3. mnożenie jest najtrudniejszym (choć w sumie nie ma czego się bać:-) działaniem na macierzach (inne działania to transponowanie, dodawanie macierzy, potęgowanie macierzy, które bazuje na mnożeniu)

Z poniższego video dowiesz się:

• kiedy można wykonać mnożenie macierzy (poznasz warunki wykonalności mnożenia)
• jaki jest schemat mnożenia macierzy (czyli co robić krok po kroku)
• jak mnożyć konkretne macierze (będą 2 konkretne przykłady)
• że iloczyn macierzy nie jest operacją przemienną, tzn. A*B najczęściej nie jest równe B*A (kolejnośc mnożenia ma znaczenie) 

 Zapraszam do nauki:)

Jak mnożyć macierze krok po kroku - 3 proste wskazówki:

1. Sprawdź czy można wykonać mnożenie, czyli czy liczba kolumn 1 macierzy jest równa liczbie wierszy 2 macierzy 
2. Określ jaki będzie wymiar macierzy wynikowej. Jeśli macierz A ma wymiar mxn a macierz B ma wymiar nxk, to macierz C=A*B (iloczyn macierzy A i B) będzie miała wymiar mxk 
3. Wykonaj mnożenie macierzy A*B=C. Aby otrzymać element macierzy C stojący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie musisz wziąć i-ty wiersz macierzy A i j-tą kolumnę macierzy B. Następnie trzeba mnożyć każdy element z i-tego wiersza macierzy A przez odpowiadający mu element j-tej kolumny macierzy B. Na koniec trzeba dodać wszystkie wymnożone elementy - to będzie właśnie element macierzy (wynikowej) C.  

Obejrzyj lekcję video kilka razy, a potem spróbuj samemu wykonać mnożenie macierzy z filmu... Napisz w komentarzu pod tym postem jak Ci poszło?Powodzenia w nauce mnożenia macierzy!

Przykłady macierzy na dobry początek nauki...

Zaczynając naukę macierzy dobrze jest poznać przykłady macierzy, tzn. konkretne macierze wypełnione liczbami. Widząc konkretne macierze a nie tylko symbole, dużo łatwiej jest zrozumieć to pojęcie i co więcej łatwiejsza staje się dalsza nauka.

Kiedy już zobaczysz, że macierz to prostokątna (lub kwadratowa) uporządkowana tablica liczb, istnieje duża szansa na to, że zrozumiesz to pojęcie bez najmniejszych problemów. Jeśli chcesz nauczyć się macierzy i nie zniechęcić się już na samym początku nauki, zacznij od poznania przykładów macierzy:-)


Napisz w komentarzu, czy rzeczywiście zaczynałeś naukę macierzy od poznania przykładów macierzy i czy rzeczywiście pomogło Ci to w zrozumieniu tego pojęcia?

Naucz się dodawać macierze w 3 MINUTY!

Dodawanie macierzy jest jedną z najprostszych operacji, które możemy wykonać na macierzach. Przy dodawaniu macierzy musisz zwrócić uwagę na to czy obie macierze są tego samego wymiaru... Dlaczego to takie ważne? Odpowiedź brzmi... bo możemy dodawać tylko macierze o tych samych wymiarach:-)

Przykłady:

• możemy wykonać dodawanie macierzy A wymiaru 2x3 z macierzą B wymiaru 2x3
• dodawanie macierzy C wymiaru 3x4 (3 wiersze i 4 kolumny) z macierzą D wymiaru 4x3 (4 wiersze i 3 kolumny) jest niewykonalne (tak też piszemy w odpowiedzi do zadania), bo wymiary macierzy C i D są różne!

Gdy już sprawdzimy czy macierze, które chcemy dodać są tych samych wymiarów, możemy zacząć wykonywać dodawanie macierzy. Jest to bardzo prosta operacja polegająca na dodawaniu odpowiadających sobie elementów z obu macierzy. Elementy odpowiadające sobie, to te, których współrzędne w obu macierzach są identyczne. Mówiąc jeszcze prościej dodając 2 macierze dodajemy element po elemencie z tych samych wierszy i kolumn obu macierzy.
W wyniku dodania do siebie dwóch macierzy otrzymamy trzecią macierz, która będzie takiego samego wymiaru jak nasze 2 macierze (które dodaliśmy do siebie). Zapraszam do obejrzenia filmiku video, który wyjaśni jak krok po kroku wykonać dodawanie macierzy?

I co powiesz na temat dodawania macierzy? Podziel się opinią w komentarzu pod tym postem:-)

Metoda Sarrusa dla wyznacznika macierzy wymiaru 3x3

Wyznacznik macierzy jest jednym z najważniejszych pojęć w algebrze liniowej. Wyznacznika macierzy kwadratowej używa się do wyznaczania macierzy odwrotnej oraz przy rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Cramera.

W tym krótkim poście pokażę Ci jak obliczyć wyznacznik macierzy wymiaru 3x3 za pomocą metody Sarrusa. Obliczanie wyznacznika w ten sposób jest bajecznie proste, szczególnie w porównaniu z rozwinięciem Laplace'a oraz operacjami elementarnymi, do używania których potrzeba wiele cierpliwości i dobrej pamięci...

Reguła Sarrusa jest ulubioną metodą obliczania wyznacznika dla większiści studentów. Dlaczego tak jest? Może dlatego, że jest łatwa do zapamiętania i do użycia, przekonaj się o tym samemu oglądając filmik video z wyjaśnieniem jak krok po kroku zastosować metodę Sarrusa. Zapraszam serdecznie:)

I co sądzisz o metodzie Sarrusa, jest rzeczywiście tak łatwa jak napisałem? Podziel się swoją opinią na temat sposobów obliczania wyznacznika macierzy 3x3 w komentarzu ponieżej.