Macierze - 3 najważniejsze schematy

Dzisiaj pokażę Ci 3 najważniejsze schematy z zakresu macierzy. Schematy te są naprawdę niezbędne do zdania algebry liniowej na studiach. Zaczynamy...

Schemat 1 - Mnożenie macierzy

Jest to chyba najważniejszy schemat, ponieważ przydaje się w zadaniach typu:

• wykonaj działania na macierzach (takie zadanie pojawia się na kolokwiach prawie zawsze)
• rozwiąż układ równań (mnożenie macierzy służy do zapisywania układów za pomocą macierzy)
• oblicz wartości i wektory własne

Tutaj znajdziesz schemat mnożenia macierzy.
  
Schemat 2 - Obliczanie wyznacznika macierzy

Ważny schemat ze względu na to, że:

• wyznacznik jest niezbędny przy liczeniu macierzy odwrotnej
• jest niezbędny przy rozwiązywaniu układów równań

Tutaj znajdziesz schemat obliczania wyznacznika macierzy.

Schemat 3 - Obliczanie macierzy odwrotnej

3 bardzo ważny schemat, który pojawia się w zadaniach typu: 

• oblicz macierz odwrotną 
• rozwiąż układ równań liniowych

Tutaj znajdziesz schemat obliczania macierzy odwrotnej.

Znając 3 powyżej opisane schematy będziesz w stanie zdać każde kolokwium lub egzamin. Ucząc się materiału z zakresu macierzy warto skupić się na tych schematach, ćwiczyć i rozwiązywać konkretne zadania. To prawdziwy klucz do sukcesu! Jeśli masz jakieś pytania to napisz w komentarzu pod tym postem - chętnie Ci pomogę:-) 

Metody obliczania wyznacznika macierzy

Wyznacznik macierzy to chyba najważniejsze z pojęć pojawiających się na algebrze. Z wyznacznikiem spotkasz się najczęściej w następujących problemach:

• odwracanie macierzy
• rozwiązywanie układu równań liniowych
• sprawdzanie czy macierz jest osobliwa czy też nieosobliwa
• obliczanie pola lub objętości bryły
• zamiana zmiennych w całkach wielokrotnych
• sprawdzanie czy układ rozwiązań jest fundamentalny (równania różniczkowe)

Na tym blogu znajdziesz tylko wstęp do różnych pojęć matematycznych, więcej możesz nauczyć się na moich stronach matematycznych http://orzelzmatmy.pl oraz http://obliczone.pl

Metody obliczania wyznacznika - teoria

Znane są dwie ogólne metody obliczania wyznacznika macierzy:

1. Metoda Laplace'a (lub inaczej rozwinięcie Laplacea) - metoda ta polega na uproszczeniu obliczeń wyznacznika poprzez rozbicie go na sumę wyznaczników macierzy mniejszego stopnia. Polega to na tym, że wybieramy sobie wiersz lub kolumnę zawierającą dużą ilość zer, następnie mnożymy każdy element wybranego wiersza lub kolumny przez dopełnienie algebraiczne tego elementu. Na koniec dodajemy do siebie wszystkie liczby i w ten sposób obliczamy wyznacznik. Metoda ta jest czasochłonna ale działa zawsze i dla każdej macierzy kwadratowej.
2. Operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy (eliminacja Gaussa) - metoda ta polega na wykonywaniu operacji elementarnych w celu uproszczenia obliczeń wyznacznika. Dozwolone operacje to: 1. Dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny) do innego wiersza (kolumny) - nie zmienia wartości wyznacznika. 2. Pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę. 3. Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika na przeciwny (plus na minus, minus na plus). Metoda przez operacje elementarne wymaga dużej wprawy i biegłości - dlatego jej stosowanie polecam bardziej zaawansowanym osobom.
3. Metoda mieszana, polegająca na wykorzystaniu operacji elementarnych i/lub rozwinięcia Laplacea, Polega to na tym, że np. stosujemy najpierw rozwinięcie Laplacea i potem dopiero używamy operacji elementarnych w celu uproszczenia obliczeń wyznaczników, które powstały w wyniku użycia metody Laplacea. Ta metoda jest bardzo użyteczna, ponieważ zapewnia dużą elastyczność. Możesz ją stosować do rozwiązywania zadań w których nie jest napisane jaką metodą należy obliczyć wyznacznik macierzy.
4. Metody szczególne - szybki wzorek na obliczanie wyznacznika macierzy wymiaru 2x2 (mnożenie elementów po przekątnej i odjęcie tak uzyskanych iloczynów) oraz metoda Sarrusa pozwalająca w łatwy sposób obliczyć wyznacznik macierzy wymiaru 3x3.

Dość teorii teraz czas na praktykę, czyli konkretne przykłady...

Metody liczania wyznacznika w praktyce

Rozwinięcia Laplacea

Operacje elementarne

wkrótce

Metoda Sarrusa

Wyznacznik macierzy 2x2

Jeśli masz problem z obliczeniem jakiegoś wyznacznika, to pisz śmiało w komentarzu pod tym postem - postaram się pomóc:-)

Co to jest macierz osobliwa (i nieosobliwa)?

Często w zadaniach z algebry liniowej przewija się pojęcie macierzy osobliwej i nieosobliwej. Wielu z was ma często mętlik w głowie, bo jak rozróżnić te dwa rodzaje macierzy i skąd w ogóle tak dziwna nazwa jak "macierz osobliwa"...? Na początek znaczenie tych dwóch pojęć:

MACIERZ OSOBLIWA - to macierz posiadająca wyznacznik równy zero

MACIERZ NIEOSOBLIWA  - to macierz posiadająca wyznacznik różny od zera

Poznaj kłamstwo, które kradnie Ci nawet 2 godziny dziennie!
Jak zapamiętać, która macierz jest osobliwa, a która nie?

•  osobliwy to znaczy dziwny, wyróżniający się, więc zapamiętaj, że macierz osobliwa to taka, która czymś się wyróżnia, w tym przypadku wyróżnia się tym, że ma wyznacznik równy 0
• macierz nieosobliwa - nie wyróżnia się niczym nadzwyczajnym, czyli ma niezerowy wyznacznik

W jakich zadaniach najczęściej pojawiają się pojęcia macierzy osobliwej i nieosobliwej? 

• oczywiście przy okazji zadań z wyznacznikiem macierzy
• w materiale związanym z liczeniem macierzy odwrotnej (nie istnieje macierz odwrotna do macierzy osobliwej)
• w zadaniach, w których trzeba obliczyć rząd macierzy (pojęcie macierzy nieosobliwej pojawia się w definicji minorów)
• przy okazji rozwiązywania układów równań liniowych (układy Cramera, gdzie macierz główna układu musi być nieosobliwa) 

A może Ty masz jakiś swój sposób na zapamiętanie różnicy między macierzą osobliwą a nieosobliwą? Podziel się w komentarzu.

Macierz odwrotna od A do Z

Zadania związane z wyznaczaniem macierzy odwrotnej pojawiają się na większości kolokwiów i egzaminów z algebry liniowej. Dlaczego odwracanie macierzy jest aż tak ważne? Oto dwa ważne powody:

• za pomocą macierzy odwrotnej można rozwiązywać układy równań liniowych w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych (układ zapisuje się w postaci macierzowej a później rozwiązuje się go za pomocą macierzy odwrotnej)
• w zadaniu z macierzą odwrotną można sprawdzić wiedzę praktycznie z całego materiału z zakresu macierzy oraz wyznaczników (czytaj dalej, żeby dowiedzieć się co dokładnie trzeba umieć...)

A teraz przejdźmy do konkretów... Na początek zobacz:
Metody wyznaczania macierzy odwrotnej

1. metoda bazująca na obliczeniu wyznacznika macierzy oraz dopełnień algebraicznych wszystkich elementów macierzy + transponowanie macierzy
2. metoda bezwyznacznikowa (metoda Gaussa, zwana też metodą dołączonej macierzy jednostkowej) - obok macierzy dopisujemy macierz jednostkową, następnie wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy wyjściowej, tak aby przekształcić ją do macierzy jednostkowej. Na koniec w miejscu dopisanej macierzy jednostkowej powinna pojawić się macierz odwrotna do naszej macierzy.  

Co trzeba umieć, żeby wyznaczyć macierz odwrotną?

1. w metodzie "wyznacznikowej" (standardowej), musisz umieć obliczyć wyznacznik macierzy (pamiętaj o metodzie Sarrusa), dopełnienia algebraiczne oraz musisz umieć transponować macierze
2. w metodzie bezwyznacznikowej, musisz wiedzieć co to są operacje elementarne, macierz jednostkowa + musisz mieć wprawę w wykonywaniu operacji elementarnych na wierszach macierzy

Zobacz konkretny przykład zadania z kolokwium.. Jak obliczyć macierz odwrotną do iloczynu macierzy wymiaru 2x2?


Zapamiętaj:

• macierz odwrotna do iloczynu macierzy jest równa iloczynowi (w odwrotnej kolejności) macierzy odwrotnych 
• macierz odwrotna do macierzy transponowanej jest równa macierzy odwrotnej z macierzy bez transponowania
• macierz odwrotna do macierzy odwrotnej jest równa danej macierzy
• macierz odwrotną do macierzy 2x2 można obliczyć korzystając z bardzo prostego schematu (bez korzystania ze skomplikowanych dopełnień algebraicznych itp)

Napisz w komentarzu poniżej o zadaniach dotyczących odwracania macierzy z którymi masz największe problemy - postaram się pomóc w ich rozwiązaniu:-) 

Jak obliczyć rząd macierzy z nieznanym parametrem?

Jeśli chcesz dowiedzieć się jak obliczyć rząd macierzy w zależności od nieznanego parametru to dobrze trafiłeś(-aś). Już za chwilę obejrzysz film video, który pomoże Ci zrozumieć schemat rozwiązywania tego typu zadań.
Kilka pojęć na początek...
Co to jest rząd macierzy?

• największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy (minor to wyznacznik macierzy kwadratowej "wyjętej" z danej macierzy poprzez skreślanie wierszy i kolumn)
• liczba schodków w macierzy schodkowej

Co to jest eliminacja Gaussa?

• jest to bezwyznacznikowa metoda obliczania rzędu macierzy (a także macierzy odwrotnej)
• metoda Gaussa polega na wykonywaniu operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy w celu doprowadzenia (uproszczenia) jej do postaci schodkowej

Co to są operacje elementarne?  

• są to operacje, które mozna wykonywać na wierszach lub kolumnach macierzy
• operacje elementarne nie zmieniają wyznacznika macierzy oraz rzędu macierzy
• dozwolone operacje elementarne to: 1. dodanie do jakiegoś wiersza (kolumny) macierzy innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez liczbę, 2. zamiana wierszy (kolumn) między sobą, 3. pomnożenie całego wiersza (kolumny) macierzy przez liczbę różną od zera 

 Znając podstawowe pojęcia możemy przejść do konkretów...
Oto schemat krok po kroku obliczania rzędu macierzy przy użyciu (bezwyznacznikowej) metody Gaussa:

1. Wykonujemy operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy, tak aby doprowadzić macierz do postaci schodkowej
2. Patrzymy ile "schodków" jest w macierzy w zależności od parametru p. Pamiętamy, że liczba schodków = rząd macierzy

Prawda, że proste:)? Oto cała metoda wyjaśniona na konkretnym przykładzie:



Czy wszystko jest dla Ciebie zrozumiałe? Pisz śmiało w komentarzu co wymaga lepszego wytłumaczenia, lub co jest dla Ciebie kompletnie niezrozumiałe.

Mnożenie macierzy przykłady, schemat i warunki

Mnożenie macierzy jest jednym z podstawowych działań na macierzach. Jak pokazuje praktyka iloczyn macierzy jest najważniejszą operacją, którą koniecznie trzeba opanować do perfekcji... Pewnie zastanawiasz się dlaczego tak jest?
Oto 3 konkretne powody dlaczego mnożenie macierzy jest takie ważne:

1. iloczyn macierzy pojawia się w ogromnej ilości zadań na kolokwiach i egzaminach z algebry liniowej (np. w zadaniach w których trzeba rozwiązać równanie macierzowe lub obliczyć wyznacznik macierzy czy też macierz odwrotną do iloczynu macierzy)
2. mnożenie macierzy pozwala zapisać każdy układ równań w postaci macierzowej (tzw. równanie macierzowe)
3. mnożenie jest najtrudniejszym (choć w sumie nie ma czego się bać:-) działaniem na macierzach (inne działania to transponowanie, dodawanie macierzy, potęgowanie macierzy, które bazuje na mnożeniu)

Z poniższego video dowiesz się:

• kiedy można wykonać mnożenie macierzy (poznasz warunki wykonalności mnożenia)
• jaki jest schemat mnożenia macierzy (czyli co robić krok po kroku)
• jak mnożyć konkretne macierze (będą 2 konkretne przykłady)
• że iloczyn macierzy nie jest operacją przemienną, tzn. A*B najczęściej nie jest równe B*A (kolejnośc mnożenia ma znaczenie) 

 Zapraszam do nauki:)

Jak mnożyć macierze krok po kroku - 3 proste wskazówki:

1. Sprawdź czy można wykonać mnożenie, czyli czy liczba kolumn 1 macierzy jest równa liczbie wierszy 2 macierzy 
2. Określ jaki będzie wymiar macierzy wynikowej. Jeśli macierz A ma wymiar mxn a macierz B ma wymiar nxk, to macierz C=A*B (iloczyn macierzy A i B) będzie miała wymiar mxk 
3. Wykonaj mnożenie macierzy A*B=C. Aby otrzymać element macierzy C stojący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie musisz wziąć i-ty wiersz macierzy A i j-tą kolumnę macierzy B. Następnie trzeba mnożyć każdy element z i-tego wiersza macierzy A przez odpowiadający mu element j-tej kolumny macierzy B. Na koniec trzeba dodać wszystkie wymnożone elementy - to będzie właśnie element macierzy (wynikowej) C.  

Obejrzyj lekcję video kilka razy, a potem spróbuj samemu wykonać mnożenie macierzy z filmu... Napisz w komentarzu pod tym postem jak Ci poszło?Powodzenia w nauce mnożenia macierzy!

Przykłady macierzy na dobry początek nauki...

Zaczynając naukę macierzy dobrze jest poznać przykłady macierzy, tzn. konkretne macierze wypełnione liczbami. Widząc konkretne macierze a nie tylko symbole, dużo łatwiej jest zrozumieć to pojęcie i co więcej łatwiejsza staje się dalsza nauka.

Kiedy już zobaczysz, że macierz to prostokątna (lub kwadratowa) uporządkowana tablica liczb, istnieje duża szansa na to, że zrozumiesz to pojęcie bez najmniejszych problemów. Jeśli chcesz nauczyć się macierzy i nie zniechęcić się już na samym początku nauki, zacznij od poznania przykładów macierzy:-)


Napisz w komentarzu, czy rzeczywiście zaczynałeś naukę macierzy od poznania przykładów macierzy i czy rzeczywiście pomogło Ci to w zrozumieniu tego pojęcia?