Wyznacznik macierzy to chyba najważniejsze z pojęć pojawiających się na algebrze. Z wyznacznikiem spotkasz się najczęściej w następujących problemach:
- odwracanie macierzy
- rozwiązywanie układu równań liniowych
- sprawdzanie czy macierz jest osobliwa czy też nieosobliwa
- obliczanie pola lub objętości bryły
- zamiana zmiennych w całkach wielokrotnych
- sprawdzanie czy układ rozwiązań jest fundamentalny (równania różniczkowe)
Metody obliczania wyznacznika - teoria
Znane są dwie ogólne metody obliczania wyznacznika macierzy:
- Metoda Laplace'a (lub inaczej rozwinięcie Laplacea) - metoda ta polega na uproszczeniu obliczeń wyznacznika poprzez rozbicie go na sumę wyznaczników macierzy mniejszego stopnia. Polega to na tym, że wybieramy sobie wiersz lub kolumnę zawierającą dużą ilość zer, następnie mnożymy każdy element wybranego wiersza lub kolumny przez dopełnienie algebraiczne tego elementu. Na koniec dodajemy do siebie wszystkie liczby i w ten sposób obliczamy wyznacznik. Metoda ta jest czasochłonna ale działa zawsze i dla każdej macierzy kwadratowej.
- Operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy (eliminacja Gaussa) - metoda ta polega na wykonywaniu operacji elementarnych w celu uproszczenia obliczeń wyznacznika. Dozwolone operacje to: 1. Dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny) do innego wiersza (kolumny) - nie zmienia wartości wyznacznika. 2. Pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę. 3. Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika na przeciwny (plus na minus, minus na plus). Metoda przez operacje elementarne wymaga dużej wprawy i biegłości - dlatego jej stosowanie polecam bardziej zaawansowanym osobom.
- Metoda mieszana, polegająca na wykorzystaniu operacji elementarnych i/lub rozwinięcia Laplacea, Polega to na tym, że np. stosujemy najpierw rozwinięcie Laplacea i potem dopiero używamy operacji elementarnych w celu uproszczenia obliczeń wyznaczników, które powstały w wyniku użycia metody Laplacea. Ta metoda jest bardzo użyteczna, ponieważ zapewnia dużą elastyczność. Możesz ją stosować do rozwiązywania zadań w których nie jest napisane jaką metodą należy obliczyć wyznacznik macierzy.
- Metody szczególne - szybki wzorek na obliczanie wyznacznika macierzy wymiaru 2x2 (mnożenie elementów po przekątnej i odjęcie tak uzyskanych iloczynów) oraz metoda Sarrusa pozwalająca w łatwy sposób obliczyć wyznacznik macierzy wymiaru 3x3.
Dość teorii teraz czas na praktykę, czyli konkretne przykłady...
Metody liczania wyznacznika w praktyce
Rozwinięcia Laplacea
Operacje elementarne
wkrótce
Metoda Sarrusa
Wyznacznik macierzy 2x2
Jeśli masz problem z obliczeniem jakiegoś wyznacznika, to pisz śmiało w komentarzu pod tym postem - postaram się pomóc:-)
w filmiku do rozwinięcia LaPlace'a : (-1)*3*6=-18, a nie -6, czyli wyznacznik jest równy 448
OdpowiedzUsuńmam taką macierz : 1 0 3 1
OdpowiedzUsuń2 1 1 -1
1 1 1 2
-3 1 9 1 i po obliczeniu metodą Laplacea wychodzi mi -47 a powinno być -72 robie wszystko tak jak na filmiku
Ten wyznacznik jest równy -71, obliczenia wyglądają następująco (stosuję metodę Laplace'a względem 1 wiersza):
Usuń|1 0 3 1 |
| 2 1 1 -1|
|1 1 1 2 | =
|-3 1 9 1|
|1 1 -1 |
|1 1 2 | +
|1 9 1 |
| 2 1 -1 |
| 1 1 2 | *3 +
|-3 1 1 |
| 2 1 1 |
| 1 1 1 | *(-1) =
| -3 1 9|
= -24 + (-13)*3 - 8= -24 - 39 - 8= -71
Wyznaczniki stopnia 3 obliczyłem metodą Sarrusa.
potrzebuje pomocy - jaką metodę wybrać, aby zaprogramować obliczenie wyznacznika macierzy 16x16 ?
OdpowiedzUsuńWitaj,
OdpowiedzUsuńistnieje wiele metod, nie jestem na bieżąco z odkryciami w algebrze macierzy i w metodach numerycznych.
Tak na pierwszy rzut można wybrać metodę Laplace'a, bo ona zawsze działa:)
Jeśli jednak zależy nam na efektywności algorytmu wyliczania wyznaczników wysokich stopni, to warto pomyśleć o wykorzystaniu tzw. dekompozycji LU, gdzie L to macierz dolnotrójkątna a U jest macierzą górnotrójkątną.
Wtedy wyznacznik wyjściowej macierzy jest iloczynem wyznaczników macierzy L i U, a te wyznaczniki liczy się łatwo, bo są to macierze trójkątne - ich wyznaczniki są równe iloczynom elementów stojących na przekątnej.
Tutaj znajdziesz opis dekompozycji LU
http://en.wikipedia.org/wiki/LU_decomposition
i po polsku http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_LU
Wiem, że ten algorytm jest stosowany do wyliczania wyznaczników macierzy wysokich stopni np. w Matlabie - najpopularniejszym pakiecie matematycznym opartym na działaniach macierzowych.
Mam nadzieję, że choć trochę pomogłem:-) pozdrawiam
Zastanawia mnie to czy można na przemian wykonywać operacje na macierzach: raz na kolumnach, a w drugim kroku np na wierszach?? Jeśli tak, to w jakich sytuacjach? Zawsze? Czy macierz musi spełnić jakieś warunki??
OdpowiedzUsuńJeśli chodzi o operacje elementarne, które wykorzystuje się do upraszczania obliczeń wyznacznika macierzy, to można je wykonywać tak na wierszach jak i na kolumnach. Polecam zajrzeć tutaj.
OdpowiedzUsuń