Spektakularne zastosowania macierzy

Jeśli zastanawiasz się po co wymyślono macierze, to dobrze trafiłeś(-aś). Poniżej znajdziesz kilkanaście przykładów zastosowań macierzy. UWAGA: będą to przykłady naprawdę spektakularne... Dowiesz się m.in. co wspólnego ma firma Google z macierzami oraz jak wykonuje się prognozy pogody?

Zacznijmy od początku...

Macierze, bo o nich tu mowa, wymyślono przede wszystkim w celu szybkiego rozwiązywania skomplikowanych układów równań liniowych, tzn. układów w których jest wiele niewiadomych i występuje wiele równań. (jeśli nie wiesz co to jest ten cały układ równań, to zobacz tutaj).

Oto lista pojęć związanych z macierzami wraz z wytłumaczeniem, co konkretnie można za ich pomocą osiągnąć:

•  działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie, mnożenie i transpozycja - za pomocą macierzy (oraz operacji na nich) można zapisać każdy układ równań
• wyznacznik macierzy - służy do znajdowania macierzy odwrotnej oraz rozwiązywania układów równań za pomocą wzorów Cramera
• rząd macierzy - wraz z twierdzeniem Kroneckera-Capellego pozwala określić ile rozwiązań ma układ równań liniowych

Cała teoria macierzy, wszystkie pojęcia i schematy wymyślono w celu ułatwienia rozwiązywania układów równań, które z kolei służą do opisu wielu zjawisk rzeczywistych, np.:

• w fizyce do opisu ruchu 2 lub większej ilości ciał oddziałujących na siebie
• w  meteorologii do opisu zjawisk fizycznych i procesów zachodzących w atmosferze. Prognozy pogody przeprowadza się rozwiązując skomplikowane układy równań, które stanowią zapis za pomocą równań pewnych zależności między parametrami opisującymi stan pogody (tj. temperatura, ciśnienie, wilgotność, siła wiatru itd.) w danej chwili. Rozwiązanie układu w zależności od warunków początkowych umożliwia określenie parametrów pogodowych w przyszłości.
• w ekonomii, do opisu zjawisk takich jak inflacja czy wzrost kapitału
• w każdej dziedzinie w której pojawia się problem optymalizacji (minimalizacji lub maksymalizacji) jakichś wielkości lub występują zjawiska o skomplikowanej naturze (wiele czynników wpływających na zjawisko oraz wiele zależności między tymi czynnikami)

Oprócz zastosowań do rozwiązywania układów równań, macierze stosowane są w wielu innych dzidzinach, np.:

• do zapisywania dużych zbiorów danych, które są we wzajemnej relacji. Szczególnie ważną rolę pełnią macierze w informatyce oraz statystyce, gdzie często występują ogromne zbiory danych (wyniki pomiarów, dane w pamięci komputera itd.). 
• co ciekawe za pomocą macierzy modeluje się ekran komputera, który składa się z milionów pikseli ułożonych w sposób logiczny w wierszach i kolumnach, dzięki temu możemy korzystać z komputera, telewizora czy telefonu

Spektakularnym przykładem zastosowań macierzy w informatyce są wyszukiwarki internetowe, wśród których najpopularniejsza jest ta od firmy Google. Wyszukiwarka Google przyporządkowuje stronom internetowym pewien wskaźnik, którego początekiem był tzw. PageRank (PR). W skrócie można to opisać tak: im wyższy PR tym strona wyżej pojawia się w wyszukiwarce. Wartość PR nadawana jest w oparciu o ilość (i jakość) linków prowadzących do danej strony www. W algorytmie PR wykorzystywane są macierze i tzw. wartości i wektory własne macierzy, więcej w 2 artykułach (w j. angielskim):

Algorytm PageRank, czyli jak działa wyszukiwarka

Wektor własny i algebra liniowa stoją za sukcesem Google

UWAGA: Artykuł pochodzi ze strony macierze.bloog.pl

Przykłady macierzy na dobry początek nauki...

Zaczynając naukę macierzy dobrze jest poznać przykłady macierzy, tzn. konkretne macierze wypełnione liczbami. Widząc konkretne macierze a nie tylko symbole, dużo łatwiej jest zrozumieć to pojęcie i co więcej łatwiejsza staje się dalsza nauka.

Kiedy już zobaczysz, że macierz to prostokątna (lub kwadratowa) uporządkowana tablica liczb, istnieje duża szansa na to, że zrozumiesz to pojęcie bez najmniejszych problemów. Jeśli chcesz nauczyć się macierzy i nie zniechęcić się już na samym początku nauki, zacznij od poznania przykładów macierzy:-)


Napisz w komentarzu, czy rzeczywiście zaczynałeś naukę macierzy od poznania przykładów macierzy i czy rzeczywiście pomogło Ci to w zrozumieniu tego pojęcia?

Naucz się dodawać macierze w 3 MINUTY!

Dodawanie macierzy jest jedną z najprostszych operacji, które możemy wykonać na macierzach. Przy dodawaniu macierzy musisz zwrócić uwagę na to czy obie macierze są tego samego wymiaru... Dlaczego to takie ważne? Odpowiedź brzmi... bo możemy dodawać tylko macierze o tych samych wymiarach:-)

Przykłady:

• możemy wykonać dodawanie macierzy A wymiaru 2x3 z macierzą B wymiaru 2x3
• dodawanie macierzy C wymiaru 3x4 (3 wiersze i 4 kolumny) z macierzą D wymiaru 4x3 (4 wiersze i 3 kolumny) jest niewykonalne (tak też piszemy w odpowiedzi do zadania), bo wymiary macierzy C i D są różne!

Gdy już sprawdzimy czy macierze, które chcemy dodać są tych samych wymiarów, możemy zacząć wykonywać dodawanie macierzy. Jest to bardzo prosta operacja polegająca na dodawaniu odpowiadających sobie elementów z obu macierzy. Elementy odpowiadające sobie, to te, których współrzędne w obu macierzach są identyczne. Mówiąc jeszcze prościej dodając 2 macierze dodajemy element po elemencie z tych samych wierszy i kolumn obu macierzy.
W wyniku dodania do siebie dwóch macierzy otrzymamy trzecią macierz, która będzie takiego samego wymiaru jak nasze 2 macierze (które dodaliśmy do siebie). Zapraszam do obejrzenia filmiku video, który wyjaśni jak krok po kroku wykonać dodawanie macierzy?

I co powiesz na temat dodawania macierzy? Podziel się opinią w komentarzu pod tym postem:-)

Po co wymyślono macierze?

Niemal na każdym kierunku studiów technicznych studenci muszą uczyć się algebry liniowej, na której jednym z najważniejszych działów są macierze. Pewnie zastanawiasz się czasem po co właściwie wymyślono macierze i dlaczego musisz uczyć się ich na studiach?

Macierze wymyślono przede wszystkim w celu szybszego rozwiązywania skomplikowanych układów równań liniowych, tzn. układów w których jest wiele niewiadomych i występuje wiele równań.
Tłumacząc pojęcie układu równań na ludzki język, powiedziałbym że są one obiektem matematycznym odpowiadającym zjawisku rzeczywistemu (za pomocą układu równań można opisać to zjawisko), w którym występuje wiele nieznanych parametrów (niewiadomych lub inaczej zmiennych) mających wpływ na zjawisko (np. na stan atmosfery, czyli pogodę w danym rejonie świata wpływa wiele różnych czynników, tj. temperatura, ciśnienie, zachmurzenie, opady, siła wiatru itp). Co więcej, czynniki wpływające na zjawisko są ze sobą powiązane wieloma relacjami, tzn. można dostrzec związki między nimi (np. wzrost ciśnienia powoduje zwiększenie temperatury i zmniejszenie siły wiatru). Więcej o układach równań napiszę innym razem...  

Układy równań liniowych służą do opisu wielu zjawisk obserwowanych w świecie rzeczywistym, np.

• w fizyce do opisu ruchu 2 lub większej ilości ciał oddziałujących na siebie
• w  meteorologii do opisu zjawisk fizycznych i procesów zachodzących w atmosferze
• w ekonomii do opisu różnych zjawisk ekonomicznych (inflacja, wzrost kapitału itd)
• w każdej dziedzinie w której pojawia się problem optymalizacji (minimalizacji lub maksymalizacji) jakichś wielkości lub występują zjawiska o skomplikowanej naturze (wiele czynników wpływających na zjawisko oraz wiele zależności między tymi czynnikami)

Cała teoria macierzy, wszystkie pojęcia i schematy zostały stworzone w celu ułatwienia rozwiązywania układów równań. Oto lista pojęć związanych z macierzami wraz z wytłumaczeniem co konkretnie można za ich pomocą osiągnąć:

•  działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie, mnożenie i transpozycja - za pomocą macierzy oraz operacji na nich można zapisać każdy układ równań
• wyznacznik macierzy - służy do znajdowania macierzy odwrotnej oraz rozwiązywania układów równań za pomocą wzorów Cramera
• rząd macierzy - wraz z twierdzeniem Kroneckera-Capellego pozwala określić ile rozwiązań ma układ równań liniowych

Jak napisałem, macierze służą do rozwiązywania układów równań liniowych, te z kolei wiążą się z konkretnymi, ważnymi problemami ze świata rzeczywistego. Macierze są więc bardzo ważne z punktu widzenia samej matematyki jak i innych dziedzin wiedzy.

Do czego jeszcze służą macierze?

• do zapisywania dużych zbiorów danych, które są we wzajemnej relacji. Szczególnie ważną rolę pełnią macierze w informatyce oraz statystyce, gdzie często występują ogromne zbiory danych (wyniki pomiarów, dane w pamięci komputera itd)
• co ciekawe za pomocą macierzy modeluje się ekran komputera, który składa się z milionów pikseli ułożonych w sposób logiczny w wierszach i kolumnach, dzięki temu możemy korzystać z komputera, telewizora czy telefonu

Na koniec podsumowanie. W poniższym filmie omówione zostały podstawy oraz zastosowania macierzy

Jak się nauczyć macierzy i wyznaczników w pół godziny?

Macierze stanowią duże wyzwanie dla wielu studentów, szczególną trudność sprawia mnożenie macierzy, obliczanie macierzy odwrotnej oraz liczenie wyznacznika macierzy. Jeśli zadajesz sobie pytanie od czego zacząć naukę macierzy i wyznaczników, to obejrzyj ten film, w którym wyjaśnione są podstawy macierzy


Dobrze jest kojarzyć macierz z szachownicą, wtedy dużo łatwiej zapamiętać co jest wierszem a co kolumną oraz jak zapisać konkretny element macierzy, który znajduje się w konkretnym wierszu i kolumnie.

Kolejny etap w nauce macierzy to zapoznanie się z rodzajami macierzy. Niektóre macierze mają swoje szczególne nazwy. Zapytasz pewnie dlaczego..., otóż jest tak, ze względu na to, że często pojawiają się one w wielu obliczeniach. Właśnie dlatego można powiedzieć, że zajmują szczególne miejsce wśród wszystkich innych macierzy.

Macierz jednostkowa jest bardzo ważna w kontekście wyznaczania macierzy odwrotnej oraz przy rozwiązywaniu układów równań liniowych.  

Macierze diagonalna, trójkątna górna i dolna wiążą się często z wyznacznikiem macierzy, ponieważ poprzez operacje elementarne można doprowadzić każdą macierz do postaci schodkowej, co znacznie upraszcza obliczanie wyznacznika.

Jeśli chcesz poznać najważniejsze rodzaje macierzy, to zapraszam do obejrzenia videolekcji

Mam nadzieje, że rozumiesz już co to jest macierz oraz znasz podstawowe pojęcia związane z macierzami. Pamiętaj, że bez tego ciężko będzie Ci rozwiązywać zadania...