Macierz odwrotna od A do Z

Zadania związane z wyznaczaniem macierzy odwrotnej pojawiają się na większości kolokwiów i egzaminów z algebry liniowej. Dlaczego odwracanie macierzy jest aż tak ważne? Oto dwa ważne powody:

• za pomocą macierzy odwrotnej można rozwiązywać układy równań liniowych w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych (układ zapisuje się w postaci macierzowej a później rozwiązuje się go za pomocą macierzy odwrotnej)
• w zadaniu z macierzą odwrotną można sprawdzić wiedzę praktycznie z całego materiału z zakresu macierzy oraz wyznaczników (czytaj dalej, żeby dowiedzieć się co dokładnie trzeba umieć...)

A teraz przejdźmy do konkretów... Na początek zobacz:
Metody wyznaczania macierzy odwrotnej

1. metoda bazująca na obliczeniu wyznacznika macierzy oraz dopełnień algebraicznych wszystkich elementów macierzy + transponowanie macierzy
2. metoda bezwyznacznikowa (metoda Gaussa, zwana też metodą dołączonej macierzy jednostkowej) - obok macierzy dopisujemy macierz jednostkową, następnie wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy wyjściowej, tak aby przekształcić ją do macierzy jednostkowej. Na koniec w miejscu dopisanej macierzy jednostkowej powinna pojawić się macierz odwrotna do naszej macierzy.  

Co trzeba umieć, żeby wyznaczyć macierz odwrotną?

1. w metodzie "wyznacznikowej" (standardowej), musisz umieć obliczyć wyznacznik macierzy (pamiętaj o metodzie Sarrusa), dopełnienia algebraiczne oraz musisz umieć transponować macierze
2. w metodzie bezwyznacznikowej, musisz wiedzieć co to są operacje elementarne, macierz jednostkowa + musisz mieć wprawę w wykonywaniu operacji elementarnych na wierszach macierzy

Zobacz konkretny przykład zadania z kolokwium.. Jak obliczyć macierz odwrotną do iloczynu macierzy wymiaru 2x2?


Zapamiętaj:

• macierz odwrotna do iloczynu macierzy jest równa iloczynowi (w odwrotnej kolejności) macierzy odwrotnych 
• macierz odwrotna do macierzy transponowanej jest równa macierzy odwrotnej z macierzy bez transponowania
• macierz odwrotna do macierzy odwrotnej jest równa danej macierzy
• macierz odwrotną do macierzy 2x2 można obliczyć korzystając z bardzo prostego schematu (bez korzystania ze skomplikowanych dopełnień algebraicznych itp)

Napisz w komentarzu poniżej o zadaniach dotyczących odwracania macierzy z którymi masz największe problemy - postaram się pomóc w ich rozwiązaniu:-)