Reklama

obliczone.pl

środa

Macierz odwrotna od A do Z

Zadania związane z wyznaczaniem macierzy odwrotnej pojawiają się na większości kolokwiów i egzaminów z algebry liniowej. Dlaczego odwracanie macierzy jest aż tak ważne? Oto dwa ważne powody:
  • za pomocą macierzy odwrotnej można rozwiązywać układy równań liniowych w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych (układ zapisuje się w postaci macierzowej a później rozwiązuje się go za pomocą macierzy odwrotnej)
  • w zadaniu z macierzą odwrotną można sprawdzić wiedzę praktycznie z całego materiału z zakresu macierzy oraz wyznaczników (czytaj dalej, żeby dowiedzieć się co dokładnie trzeba umieć...)
A teraz przejdźmy do konkretów... Na początek zobacz:
Metody wyznaczania macierzy odwrotnej
  1. metoda bazująca na obliczeniu wyznacznika macierzy oraz dopełnień algebraicznych wszystkich elementów macierzy + transponowanie macierzy
  2. metoda bezwyznacznikowa (metoda Gaussa, zwana też metodą dołączonej macierzy jednostkowej) - obok macierzy dopisujemy macierz jednostkową, następnie wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy wyjściowej, tak aby przekształcić ją do macierzy jednostkowej. Na koniec w miejscu dopisanej macierzy jednostkowej powinna pojawić się macierz odwrotna do naszej macierzy.  
Co trzeba umieć, żeby wyznaczyć macierz odwrotną?
  1. w metodzie "wyznacznikowej" (standardowej), musisz umieć obliczyć wyznacznik macierzy (pamiętaj o metodzie Sarrusa), dopełnienia algebraiczne oraz musisz umieć transponować macierze
  2. w metodzie bezwyznacznikowej, musisz wiedzieć co to są operacje elementarne, macierz jednostkowa + musisz mieć wprawę w wykonywaniu operacji elementarnych na wierszach macierzy
Zobacz konkretny przykład zadania z kolokwium.. Jak obliczyć macierz odwrotną do iloczynu macierzy wymiaru 2x2?


Zapamiętaj:
  • macierz odwrotna do iloczynu macierzy jest równa iloczynowi (w odwrotnej kolejności) macierzy odwrotnych 
  • macierz odwrotna do macierzy transponowanej jest równa macierzy odwrotnej z macierzy bez transponowania
  • macierz odwrotna do macierzy odwrotnej jest równa danej macierzy
  • macierz odwrotną do macierzy 2x2 można obliczyć korzystając z bardzo prostego schematu (bez korzystania ze skomplikowanych dopełnień algebraicznych itp)
Napisz w komentarzu poniżej o zadaniach dotyczących odwracania macierzy z którymi masz największe problemy - postaram się pomóc w ich rozwiązaniu:-) 

6 komentarzy:

  1. Witam
    Mam zadanko
    Znajdź przeciwobraz macierzy. macierz:
    −1 0 1 2
    2 −1 1 −2
    punkt P(2, −2)
    Macierz 2x4 jak widać Mój problem polega na tym, że nie potrafię odwrócić tej macierzy

    OdpowiedzUsuń
  2. Witaj,

    w Twoim zadanku trzeba jak rozumiem znaleźć przeciwobraz przekształcenia liniowego, które określone jest przez podaną macierz?

    Przeciwobraz jest czymś zupełnie innym niż macierz odwrotna.
    Zwróć uwagę na fakt, że można odwracać (mam na myśli liczenie macierzy odwrotnej) tylko macierze kwadratowe, które mają wyznacznik różny od zera (macierze nieosobliwe).

    Podaj dokładną treść zadania, postaram się pomóc w rozwiązaniu.

    OdpowiedzUsuń
  3. Ja mam takie zadanie:Wiedzac ze det A=3, det 3A=81 oblicz det 2A^-1
    mozesz to zrobić? z gory dzieki

    OdpowiedzUsuń
  4. W tym zadaniu, wystarczy, że skorzystamy z własności wyznacznika macierzy:

    det(kA)=k^n*detA, stąd gdy k=3 i detA=3, mamy

    81=det(3A)=3^n detA=3^n*3=3^(n+1), gdzie n jest stopniem macierzy A,

    stąd n=3

    Teraz korzystamy z jeszcze jednej własności wyznacznika macierzy odwrotnej, tj.

    detA^-1=1/detA i mamy

    det2A^-1=2^n detA^-1=2^3/detA=2^3/3=8/3

    Tego typu przydatne własności wyznacznika przydają się też w innych zadaniach z macierzy. Na stronie http://obliczone.pl/zadania/macierze/wyznacznik-macierzy znajdziesz wiele takich zadań z rozwiązaniami.

    OdpowiedzUsuń
  5. Witaj mam wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A wiedząc że jej wyznacznik jest równy 4
    A= 3 2 1
    5 4 3
    0 1 5

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Witaj, wyznacznik tej macierzy nie wynosi 4, ale 6, zobacz tutaj rozwiązanie (postać macierzy odwrotnej do macierzy A)

      Usuń