Po co wymyślono macierze?

Niemal na każdym kierunku studiów technicznych studenci muszą uczyć się algebry liniowej, na której jednym z najważniejszych działów są macierze. Pewnie zastanawiasz się czasem po co właściwie wymyślono macierze i dlaczego musisz uczyć się ich na studiach?

Macierze wymyślono przede wszystkim w celu szybszego rozwiązywania skomplikowanych układów równań liniowych, tzn. układów w których jest wiele niewiadomych i występuje wiele równań.
Tłumacząc pojęcie układu równań na ludzki język, powiedziałbym że są one obiektem matematycznym odpowiadającym zjawisku rzeczywistemu (za pomocą układu równań można opisać to zjawisko), w którym występuje wiele nieznanych parametrów (niewiadomych lub inaczej zmiennych) mających wpływ na zjawisko (np. na stan atmosfery, czyli pogodę w danym rejonie świata wpływa wiele różnych czynników, tj. temperatura, ciśnienie, zachmurzenie, opady, siła wiatru itp). Co więcej, czynniki wpływające na zjawisko są ze sobą powiązane wieloma relacjami, tzn. można dostrzec związki między nimi (np. wzrost ciśnienia powoduje zwiększenie temperatury i zmniejszenie siły wiatru). Więcej o układach równań napiszę innym razem...  

Układy równań liniowych służą do opisu wielu zjawisk obserwowanych w świecie rzeczywistym, np.

• w fizyce do opisu ruchu 2 lub większej ilości ciał oddziałujących na siebie
• w  meteorologii do opisu zjawisk fizycznych i procesów zachodzących w atmosferze
• w ekonomii do opisu różnych zjawisk ekonomicznych (inflacja, wzrost kapitału itd)
• w każdej dziedzinie w której pojawia się problem optymalizacji (minimalizacji lub maksymalizacji) jakichś wielkości lub występują zjawiska o skomplikowanej naturze (wiele czynników wpływających na zjawisko oraz wiele zależności między tymi czynnikami)

Cała teoria macierzy, wszystkie pojęcia i schematy zostały stworzone w celu ułatwienia rozwiązywania układów równań. Oto lista pojęć związanych z macierzami wraz z wytłumaczeniem co konkretnie można za ich pomocą osiągnąć:

•  działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie, mnożenie i transpozycja - za pomocą macierzy oraz operacji na nich można zapisać każdy układ równań
• wyznacznik macierzy - służy do znajdowania macierzy odwrotnej oraz rozwiązywania układów równań za pomocą wzorów Cramera
• rząd macierzy - wraz z twierdzeniem Kroneckera-Capellego pozwala określić ile rozwiązań ma układ równań liniowych

Jak napisałem, macierze służą do rozwiązywania układów równań liniowych, te z kolei wiążą się z konkretnymi, ważnymi problemami ze świata rzeczywistego. Macierze są więc bardzo ważne z punktu widzenia samej matematyki jak i innych dziedzin wiedzy.

Do czego jeszcze służą macierze?

• do zapisywania dużych zbiorów danych, które są we wzajemnej relacji. Szczególnie ważną rolę pełnią macierze w informatyce oraz statystyce, gdzie często występują ogromne zbiory danych (wyniki pomiarów, dane w pamięci komputera itd)
• co ciekawe za pomocą macierzy modeluje się ekran komputera, który składa się z milionów pikseli ułożonych w sposób logiczny w wierszach i kolumnach, dzięki temu możemy korzystać z komputera, telewizora czy telefonu

Na koniec podsumowanie. W poniższym filmie omówione zostały podstawy oraz zastosowania macierzy