Zadania z rozwiązaniami z macierzy i wyznaczników

Pewnie doskonale zdajesz sobie sprawę, że sama nauka teorii z zakresu macierzy nie wystarczy, bo na kolokwiach i egzaminach sprawdzana jest umiejętność rozwiązywania zadań.

Jak szybko i bez żadnych ćwiczeń zwiększyć swoją koncentrację i zdolności umysłowe?
 
Nawet doskonała znajomość teorii nie zagwarantuje Ci zdanego kolokwium, chociaż na pewno bardzo ułatwi zrozumienie schematów rozwiązywania zadań.

Jeśli zastanawiasz się jak nauczyć się rozwiązywać zadania to zobacz jak uczyć się matematyki.
Następnie zobacz rewelacyjną stronę internetową zawierającą zadania z matematyki z rozwiązaniami.

Jeśli masz zbyt duże braki z matematyki, żeby samodzielnie przedzierać się przez rozwiązania zadań, to polecam kurs macierzy.

Zapamiętaj:
Żeby nauczyć się rozwiązywać zadania, nie wystarczy nauczyć się na pamięć kilku schematów, trzeba to po prostu zrozumieć:-)
  
Jeśli znasz inne strony internetowe pomocne w nauce macierzy, to podziel się tym z innymi! Bloga ogląda kilkaset osób dziennie i na pewno będą Ci za to wdzięczni:-)  

Jaka jest różnica między macierzą jednostkową a diagonalną?

W tym poście postaram się odpowiedzieć na pytanie, jaka jest różnica między macierzą diagonalną a jednostkową?
Na początek chcę polecić Ci powtórkę z rodzajów macierzy dostępną na tym blogu (Jak się nauczyć macierzy w pół godziny?), warta polecenia jest też powtórka na stronie o rodzajach macierzy.

Ogólnie możemy powiedzieć, że macierz jednostkowa to macierz kwadratowa, posiadająca jedynki (1) na głównej przekątnej a poza przekątną same zera.

Macierz diagonalna z kolei to macierz posiadająca zera poza główną przkątną (na przekątnej mogą stać dowolne liczby, również zera). 

Stąd wniosek, że macierz jednostkowa to macierz diagonalna posiadająca jedynki (1) na przekątnej. 

Inne przykładem macierzy diagonalnej jest kwadratowa macierz zerowa. Taka macierz jest diagonalna, poniważ posiada zera poza przekątną (i zera na przekątnej ale to w niczym nie przeszkadza).

Jeśli masz jakieś pytania o rozdzaje macierzy to zapraszam do pozostawienia go pod tym postem.

Spektakularne zastosowania macierzy

Jeśli zastanawiasz się po co wymyślono macierze, to dobrze trafiłeś(-aś). Poniżej znajdziesz kilkanaście przykładów zastosowań macierzy. UWAGA: będą to przykłady naprawdę spektakularne... Dowiesz się m.in. co wspólnego ma firma Google z macierzami oraz jak wykonuje się prognozy pogody?

Zacznijmy od początku...

Macierze, bo o nich tu mowa, wymyślono przede wszystkim w celu szybkiego rozwiązywania skomplikowanych układów równań liniowych, tzn. układów w których jest wiele niewiadomych i występuje wiele równań. (jeśli nie wiesz co to jest ten cały układ równań, to zobacz tutaj).

Oto lista pojęć związanych z macierzami wraz z wytłumaczeniem, co konkretnie można za ich pomocą osiągnąć:

•  działania na macierzach: dodawanie i odejmowanie, mnożenie i transpozycja - za pomocą macierzy (oraz operacji na nich) można zapisać każdy układ równań
• wyznacznik macierzy - służy do znajdowania macierzy odwrotnej oraz rozwiązywania układów równań za pomocą wzorów Cramera
• rząd macierzy - wraz z twierdzeniem Kroneckera-Capellego pozwala określić ile rozwiązań ma układ równań liniowych

Cała teoria macierzy, wszystkie pojęcia i schematy wymyślono w celu ułatwienia rozwiązywania układów równań, które z kolei służą do opisu wielu zjawisk rzeczywistych, np.:

• w fizyce do opisu ruchu 2 lub większej ilości ciał oddziałujących na siebie
• w  meteorologii do opisu zjawisk fizycznych i procesów zachodzących w atmosferze. Prognozy pogody przeprowadza się rozwiązując skomplikowane układy równań, które stanowią zapis za pomocą równań pewnych zależności między parametrami opisującymi stan pogody (tj. temperatura, ciśnienie, wilgotność, siła wiatru itd.) w danej chwili. Rozwiązanie układu w zależności od warunków początkowych umożliwia określenie parametrów pogodowych w przyszłości.
• w ekonomii, do opisu zjawisk takich jak inflacja czy wzrost kapitału
• w każdej dziedzinie w której pojawia się problem optymalizacji (minimalizacji lub maksymalizacji) jakichś wielkości lub występują zjawiska o skomplikowanej naturze (wiele czynników wpływających na zjawisko oraz wiele zależności między tymi czynnikami)

Oprócz zastosowań do rozwiązywania układów równań, macierze stosowane są w wielu innych dzidzinach, np.:

• do zapisywania dużych zbiorów danych, które są we wzajemnej relacji. Szczególnie ważną rolę pełnią macierze w informatyce oraz statystyce, gdzie często występują ogromne zbiory danych (wyniki pomiarów, dane w pamięci komputera itd.). 
• co ciekawe za pomocą macierzy modeluje się ekran komputera, który składa się z milionów pikseli ułożonych w sposób logiczny w wierszach i kolumnach, dzięki temu możemy korzystać z komputera, telewizora czy telefonu

Spektakularnym przykładem zastosowań macierzy w informatyce są wyszukiwarki internetowe, wśród których najpopularniejsza jest ta od firmy Google. Wyszukiwarka Google przyporządkowuje stronom internetowym pewien wskaźnik, którego początekiem był tzw. PageRank (PR). W skrócie można to opisać tak: im wyższy PR tym strona wyżej pojawia się w wyszukiwarce. Wartość PR nadawana jest w oparciu o ilość (i jakość) linków prowadzących do danej strony www. W algorytmie PR wykorzystywane są macierze i tzw. wartości i wektory własne macierzy, więcej w 2 artykułach (w j. angielskim):

Algorytm PageRank, czyli jak działa wyszukiwarka

Wektor własny i algebra liniowa stoją za sukcesem Google

UWAGA: Artykuł pochodzi ze strony macierze.bloog.pl

Jaka jest różnica między wierszem a kolumną macierzy?

Jeśli masz problem z zapamiętaniem czym jest wiersz a czym kolumna macierzy, to ten post jest właśnie dla Ciebie:-)!

Co to jest wiersz macierzy?

Wiersz macierzy to pozioma linia (na rysunku poniżej 2 wiersz zaznaczony jest kolorem zielono-niebieskim), na której obok siebie znajdują się kolejne elementy macierzy:

Co to jest kolumna macierzy?

Kolumna to pionowa linia na której leżą elementy macierzy jeden pod drugim (na rysunku poniżej 1 kolumna macierzy jest zaznaczona kolorem czerwonym):

Prawda, że proste? Wiersz i kolumna macierzy to jedne z najbardziej podstawowych pojęć na algebrze liniowej. W filmie poniżej możesz zapoznać się z podstawowymi zagadnieniami z zakresu macierzy:

Jak zwykle zachęcam do zadawania pytań na temat macierzy i nie tylko w komentarzach pod tym postem.  

Macierze - 3 najważniejsze schematy

Dzisiaj pokażę Ci 3 najważniejsze schematy z zakresu macierzy. Schematy te są naprawdę niezbędne do zdania algebry liniowej na studiach. Zaczynamy...

Schemat 1 - Mnożenie macierzy

Jest to chyba najważniejszy schemat, ponieważ przydaje się w zadaniach typu:

• wykonaj działania na macierzach (takie zadanie pojawia się na kolokwiach prawie zawsze)
• rozwiąż układ równań (mnożenie macierzy służy do zapisywania układów za pomocą macierzy)
• oblicz wartości i wektory własne

Tutaj znajdziesz schemat mnożenia macierzy.
  
Schemat 2 - Obliczanie wyznacznika macierzy

Ważny schemat ze względu na to, że:

• wyznacznik jest niezbędny przy liczeniu macierzy odwrotnej
• jest niezbędny przy rozwiązywaniu układów równań

Tutaj znajdziesz schemat obliczania wyznacznika macierzy.

Schemat 3 - Obliczanie macierzy odwrotnej

3 bardzo ważny schemat, który pojawia się w zadaniach typu: 

• oblicz macierz odwrotną 
• rozwiąż układ równań liniowych

Tutaj znajdziesz schemat obliczania macierzy odwrotnej.

Znając 3 powyżej opisane schematy będziesz w stanie zdać każde kolokwium lub egzamin. Ucząc się materiału z zakresu macierzy warto skupić się na tych schematach, ćwiczyć i rozwiązywać konkretne zadania. To prawdziwy klucz do sukcesu! Jeśli masz jakieś pytania to napisz w komentarzu pod tym postem - chętnie Ci pomogę:-) 

Metody obliczania wyznacznika macierzy

Wyznacznik macierzy to chyba najważniejsze z pojęć pojawiających się na algebrze. Z wyznacznikiem spotkasz się najczęściej w następujących problemach:

• odwracanie macierzy
• rozwiązywanie układu równań liniowych
• sprawdzanie czy macierz jest osobliwa czy też nieosobliwa
• obliczanie pola lub objętości bryły
• zamiana zmiennych w całkach wielokrotnych
• sprawdzanie czy układ rozwiązań jest fundamentalny (równania różniczkowe)

Na tym blogu znajdziesz tylko wstęp do różnych pojęć matematycznych, więcej możesz nauczyć się na moich stronach matematycznych http://orzelzmatmy.pl oraz http://obliczone.pl

Metody obliczania wyznacznika - teoria

Znane są dwie ogólne metody obliczania wyznacznika macierzy:

1. Metoda Laplace'a (lub inaczej rozwinięcie Laplacea) - metoda ta polega na uproszczeniu obliczeń wyznacznika poprzez rozbicie go na sumę wyznaczników macierzy mniejszego stopnia. Polega to na tym, że wybieramy sobie wiersz lub kolumnę zawierającą dużą ilość zer, następnie mnożymy każdy element wybranego wiersza lub kolumny przez dopełnienie algebraiczne tego elementu. Na koniec dodajemy do siebie wszystkie liczby i w ten sposób obliczamy wyznacznik. Metoda ta jest czasochłonna ale działa zawsze i dla każdej macierzy kwadratowej.
2. Operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy (eliminacja Gaussa) - metoda ta polega na wykonywaniu operacji elementarnych w celu uproszczenia obliczeń wyznacznika. Dozwolone operacje to: 1. Dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny) do innego wiersza (kolumny) - nie zmienia wartości wyznacznika. 2. Pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę. 3. Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika na przeciwny (plus na minus, minus na plus). Metoda przez operacje elementarne wymaga dużej wprawy i biegłości - dlatego jej stosowanie polecam bardziej zaawansowanym osobom.
3. Metoda mieszana, polegająca na wykorzystaniu operacji elementarnych i/lub rozwinięcia Laplacea, Polega to na tym, że np. stosujemy najpierw rozwinięcie Laplacea i potem dopiero używamy operacji elementarnych w celu uproszczenia obliczeń wyznaczników, które powstały w wyniku użycia metody Laplacea. Ta metoda jest bardzo użyteczna, ponieważ zapewnia dużą elastyczność. Możesz ją stosować do rozwiązywania zadań w których nie jest napisane jaką metodą należy obliczyć wyznacznik macierzy.
4. Metody szczególne - szybki wzorek na obliczanie wyznacznika macierzy wymiaru 2x2 (mnożenie elementów po przekątnej i odjęcie tak uzyskanych iloczynów) oraz metoda Sarrusa pozwalająca w łatwy sposób obliczyć wyznacznik macierzy wymiaru 3x3.

Dość teorii teraz czas na praktykę, czyli konkretne przykłady...

Metody liczania wyznacznika w praktyce

Rozwinięcia Laplacea

Operacje elementarne

wkrótce

Metoda Sarrusa

Wyznacznik macierzy 2x2

Jeśli masz problem z obliczeniem jakiegoś wyznacznika, to pisz śmiało w komentarzu pod tym postem - postaram się pomóc:-)

Co to jest macierz osobliwa (i nieosobliwa)?

Często w zadaniach z algebry liniowej przewija się pojęcie macierzy osobliwej i nieosobliwej. Wielu z was ma często mętlik w głowie, bo jak rozróżnić te dwa rodzaje macierzy i skąd w ogóle tak dziwna nazwa jak "macierz osobliwa"...? Na początek znaczenie tych dwóch pojęć:

MACIERZ OSOBLIWA - to macierz posiadająca wyznacznik równy zero

MACIERZ NIEOSOBLIWA  - to macierz posiadająca wyznacznik różny od zera

Poznaj kłamstwo, które kradnie Ci nawet 2 godziny dziennie!
Jak zapamiętać, która macierz jest osobliwa, a która nie?

•  osobliwy to znaczy dziwny, wyróżniający się, więc zapamiętaj, że macierz osobliwa to taka, która czymś się wyróżnia, w tym przypadku wyróżnia się tym, że ma wyznacznik równy 0
• macierz nieosobliwa - nie wyróżnia się niczym nadzwyczajnym, czyli ma niezerowy wyznacznik

W jakich zadaniach najczęściej pojawiają się pojęcia macierzy osobliwej i nieosobliwej? 

• oczywiście przy okazji zadań z wyznacznikiem macierzy
• w materiale związanym z liczeniem macierzy odwrotnej (nie istnieje macierz odwrotna do macierzy osobliwej)
• w zadaniach, w których trzeba obliczyć rząd macierzy (pojęcie macierzy nieosobliwej pojawia się w definicji minorów)
• przy okazji rozwiązywania układów równań liniowych (układy Cramera, gdzie macierz główna układu musi być nieosobliwa) 

A może Ty masz jakiś swój sposób na zapamiętanie różnicy między macierzą osobliwą a nieosobliwą? Podziel się w komentarzu.